高等数学背景知识——关于微积分

微积分是高等数学的一个主要内容，我们有必要对微积分的时代背景及其创立作基本的了解。

一、微积分的时代背景

微积分（calculus）是微分学（differential calculus）和积分学（integral calculus）的简称。Calculus原意是计算、演算，在拉丁文中表示石子，指用石子进行计算。微积分后来的发展称为“分析学”。中国19世纪中叶翻译此类数学书时定名为微积分。

微积分的创立是数学史上最重要的事件之一。其基本思想源于古希腊的求积术，但直接动力却来自17世纪的科技问题。

（1）运动问题。已知物体移动的距离表示为时间的函数关系式，求物体在任意时刻的速度与加速度；反之，已知物体的加速度表为时间的函数关系式，求速度与距离。因运动物体的速度与加速度每时每刻都在变化，瞬时速度的求法超出常规的范围。抛射体＆行星的运动都属于此列。

（2）切线问题。17世纪透镜的设计吸引了许多数学家。要研究光线通过透镜的通道，必须知道射线射入透镜的角度，以便应用光的反射定律，这就需要求出光线在入射点的法线或切线。另外，运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向都是轨迹的切线方向。从几何本身看，切线的定义与求法也都没有解决，对于17世纪出现的复杂曲线求切线更是无从下手。

（3）极值问题。即求函数的最大值与最小值。例如炮弹能获得最大射程的发射角，行星离开太阳的最远距离等。17世纪初已有一些实际推测，但缺乏理论上的证明。

（4）求积问题。包括求曲线的长度（例如行星在椭圆轨道上运行的距离），曲线围成的面积，曲面围成的体积，物体的重心等。古希腊人的穷竭法只对一些简单的面积和体积有效，缺乏一般性，但它却是微积分的萌芽，受到数学史家的重视。

二、微积分的早期工作

在数学史上，积分概念先于微分概念产生，是与某些面积、体积和弧长相联系的求和过程中引起的。后来对曲线作切线问题和函数的极大值、极小值问题产生了微分。再往后人们才注意到：积分和微分彼此为逆运算而相互关联。

（1）极限概念。这是整个微积分学的基础。公元前5世纪，古希腊芝诺悖论就涉及极限的问题，例如二分说，追龟论等，欧多克索斯穷竭法也使用了极限概念。这些是极限方法的萌芽。

（2）穷竭法。古希腊安蒂丰在研究化圆为方时，提出一种将圆内接正多边形边数不断加倍逼近圆周的方法，后人认为这是穷竭法的最早形式。当多边形的边数不断加倍时，圆内接正多边形与圆周之间存在着空隙逐渐被“穷竭”了。公元前4世纪，欧多克索斯建立“欧多克索斯原理”：设给定两个不相等的量，如果从其中较大的量减去比它的一半大的量，再从所余的量中减去比这余量的一半大的量，继续重复这一过程，必有某个余量将小于给定的较小的量。“他利用这一原理建立了完善的穷竭法，求出了棱锥体积和圆锥体积。穷竭法被欧几里得收入《几何原本》中，成为几何证明得一种方法。

（3）不可分原理。1635年，意大利数学家卡瓦列里建立了不可分原理。原理表述为：“两同高得立体，如果在等高处的截面积恒相等，则它们的体积相等；如果截面积成定比，则它们的体积之比等于截面积之比。”依靠这一理论，他用几何方法巧妙地求出若干曲边图形的面积，还证明了旋转体的表面积及体积公式等，对微积分的创立有重要影响。

（4）切线求法。1637年法国费马给出一种求切线的方法，实质上与现代方法一致。费马还在文中得到了求最大值和最小值的方法，确立了多项式方程代表的曲线上的极大、极小和拐点。他还将这一方法用于求物体的重心、曲线的长度以及求旋转面的面积等各类问题，并应用于光学研究，提出最短时间原理，其工作被认为是“微积分新计算的第一发明人”。1670年，英国数学家巴罗应用几何方法对曲线进行计算，在求切线时提出了“微分三角形”概念。巴罗还使用了与费马同样的方法求曲线的切线，并且可能是第一个认识到微分法是积分法的逆运算的数学家。